Fundamental II (7º/8º/9º ano) & Ensino Médio / ENEMBNCC: EF07MA34 / EF08MA22 / EF09MA20 / EM13MAT31135 a 45 min • 20 questões

Atividades de probabilidade: 20 exercícios resolvidos passo a passo

Pratique com 20 exercícios de probabilidade resolvidos. Questões com dados, moedas, urna, probabilidade condicional e binomial para 7º/9º ano e ENEM.

Passo a passo com fórmulas

Resoluções completas com P(E) = n(E)/n(S), simplificação de frações, porcentagens e dicas de ouro (“pulo do gato”).

20 Widgets interativos

Dado 3D, urna transparente, matriz 6x6, diagramas de Venn, árvore de moedas, tábua de Galton e simulador de Monty Hall.

Gabarito protegido & SSR

Resoluções com desfoque protetor para treino autônomo e 100% legíveis no DOM para o Googlebot.

Módulo 1 • Fundamental II5 questões resolvidas

Módulo 1: Espaço Amostral e Eventos Simples

Definição clássica de Laplace, razão entre casos favoráveis e casos possíveis P(E) = n(E)/n(S), frações, porcentagens e probabilidade geométrica em dados, urnas, baralhos e roletas.

01Matemática > Probabilidade > Espaço Amostral e Eventos Simples

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Lançamento de dado comum: números ímpares e primos

Um dado comum de 6 faces, cúbico e perfeitamente equilibrado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado uma única vez sobre uma mesa lisa. Qual é a probabilidade de a face voltada para cima ser simultaneamente um número ímpar e um número primo?

Simulador interativo de dado • Espaço amostral n(S) = 6

Faces: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ímpar e primo (Favorável!)

Análise de cada face:

Não primo

É par

✓ Válido

Composto

✓ Válido

Composto

Fórmula de Laplace:P(E) = n(E) / n(S)

Casos favoráveis E = {3, 5}:n(E) = 2

Espaço amostral total:n(S) = 6

Probabilidade:2/6 = 1/3 ≈ 33,33%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: B

Passo a passo detalhado:
1. Espaço amostral S: É o conjunto de todos os resultados possíveis ao lançar um dado de 6 faces: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto o número total de casos possíveis é n(S) = 6.
2. Identificação do evento E (ímpar e primo):
- Números ímpares no dado: {1, 3, 5}
- Números primos no dado: {2, 3, 5} (atenção: 1 não é primo pois possui apenas 1 divisor natural; 2 é primo, mas é par)
- Interseção (ímpar E primo): E = {3, 5}
- Casos favoráveis: n(E) = 2.
3. Aplicação da fórmula clássica de probabilidade:
P(E) = n(E) / n(S) = 2 / 6.
4. Simplificação da fração e conversão para porcentagem:
2/6 simplificado por 2 = 1/3 ≈ 0,3333... = 33,33%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Cuidado com os números 1 e 2! O número 1 NÃO é primo (um número primo precisa ter exatamente 2 divisores distintos: 1 e ele mesmo). O número 2 é o ÚNICO primo par. Portanto, entre 1 e 6, os únicos primos ímpares são o 3 e o 5 (2 casos em 6 = 1/3)!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

Nos dados cúbicos modernos ocidentais, a soma das faces diametralmente opostas é sempre constante e igual a 7 (1+6, 2+5, 3+4). Essa regra padronizada desde a Antiguidade garante melhor distribuição do centro de massa e evita vantagens desleais durante o rolamento!

02Matemática > Probabilidade > Espaço Amostral e Frações

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Urna com bolas coloridas: cálculo com frações e porcentagem

Uma urna opaca contém 8 bolas vermelhas, 7 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Todas as bolas possuem a mesma textura, massa e formato esférico, diferindo unicamente na cor. Retirando-se ao acaso uma única bola dessa urna, qual é a probabilidade percentual de ela ser de cor azul?

Urna de Bernoulli • Total de Bolas n(S) = 20

Filtrar cor:

Interior da urna transparente (20 bolas)

Azuis (Alvo)7 bolas7/20 = 35%

Vermelhas8 bolas8/20 = 40%

Amarelas5 bolas5/20 = 25%

Cálculo centesimal (Frações para %):7 / 20

Multiplicando numerador e denominador por 5 para atingir a base 100:

(7 × 5) / (20 × 5) = 35 / 100 = 35%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: C

Passo a passo detalhado:
1. Determinação do espaço amostral total n(S):
n(S) = bolas vermelhas + bolas azuis + bolas amarelas
n(S) = 8 + 7 + 5 = 20 bolas no total.
2. Casos favoráveis n(A) (bola azul):
n(A) = 7 bolas azuis.
3. Cálculo da razão de probabilidade:
P(Azul) = n(A) / n(S) = 7 / 20.
4. Conversão para fração centesimal e porcentagem:
Multiplicando o numerador e o denominador por 5 para obter base 100:
P(Azul) = (7 × 5) / (20 × 5) = 35 / 100 = 35%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Atalho de prova ENEM: Quando o denominador for 20, multiplique o numerador diretamente por 5 para achar a porcentagem instantaneamente (7 × 5 = 35%)! Se o denominador fosse 25, multiplicaria por 4; se fosse 50, multiplicaria por 2.

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

O modelo matemático de 'urnas com bolas' foi introduzido no século XVIII por Jacob Bernoulli em sua célebre obra 'Ars Conjectandi' (1713). Ele serve até hoje como padrão fundamental para modelar desde amostragem de pesquisas eleitorais até extrações de loterias oficiais!

03Matemática > Probabilidade > Espaço Amostral Discreto

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Baralho padrão de 52 cartas: probabilidade de extrair um ás

Um baralho padrão tradicional contém 52 cartas distribuídas igualmente em 4 naipes: Copas (♥), Ouros (♦), Espadas (♠) e Paus (♣), com 13 cartas em cada naipe (Ás, 2 a 10, Valete, Dama e Rei). Se o baralho for completamente embaralhado e uma carta for puxada aleatoriamente, qual é a probabilidade de ela ser um Ás?

Baralho padrão • 52 cartas • 4 Ases (1 por naipe)

♥Naipe de Copas (13 cartas)1 Ás neste naipe

♦Naipe de Ouros (13 cartas)1 Ás neste naipe

♠Naipe de Espadas (13 cartas)1 Ás neste naipe

♣Naipe de Paus (13 cartas)1 Ás neste naipe

Total de Ases favoráveis: 4 ases (Copas, Ouros, Espadas, Paus)

P(Ás) = 4 / 52 = 1 / 13 ≈ 7,69%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: B

Passo a passo detalhado:
1. Espaço amostral n(S): Um baralho completo tradicional possui n(S) = 52 cartas.
2. Casos favoráveis n(Ás): Há exatamente 1 Ás em cada um dos 4 naipes (Ás de Copas, Ás de Ouros, Ás de Espadas e Ás de Paus). Portanto, n(Ás) = 4.
3. Cálculo da probabilidade:
P(Ás) = n(Ás) / n(S) = 4 / 52.
4. Simplificação por 4:
(4 ÷ 4) / (52 ÷ 4) = 1 / 13 ≈ 0,0769 = 7,69%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Princípio da simetria no baralho: Como existem 13 valores diferentes e cada um se repete 4 vezes (1 em cada naipe), a probabilidade de puxar qualquer valor específico (Ás, Rei, 7, etc.) é sempre 1/13! Não perca tempo montando frações longas.

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

Os 4 naipes foram criados na França medieval para simbolizar as 4 classes sociais: Copas (o clero católico), Espadas (a nobreza militar), Ouros (a burguesia comerciante) e Paus (os camponeses agricultores)!

04Matemática > Probabilidade > Subconjuntos Numéricos

MédioENEM & Vestibulares

Sorteio de múltiplos de 3 e de 5 no intervalo de 1 a 50

Cinquenta fichas idênticas, numeradas de 1 a 50 sem repetição, são colocadas em um globo de sorteio. Uma ficha é extraída aleatoriamente. Qual é a probabilidade de o número da ficha sorteada ser simultaneamente um múltiplo de 3 e um múltiplo de 5?

Fichas de 1 a 50 • Identificação de Múltiplos

Destacar:

Números simultâneos de 3 e 5: {15, 30, 45} (3 números)

P(3 e 5) = 3 / 50 = 6 / 100 = 6%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: A

Passo a passo detalhado:
1. Espaço amostral n(S): Fichas de 1 a 50, logo n(S) = 50.
2. Condição do evento E: Ser simultaneamente múltiplo de 3 e de 5. Como 3 e 5 são números primos entre si, ser múltiplo de ambos equivale a ser múltiplo de mmc(3, 5) = 15.
3. Listagem dos múltiplos de 15 entre 1 e 50:
- 15 × 1 = 15
- 15 × 2 = 30
- 15 × 3 = 45
(O próximo seria 15 × 4 = 60, que ultrapassa 50).
Portanto, E = {15, 30, 45} e n(E) = 3 casos favoráveis.
4. Cálculo da probabilidade:
P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 50.
5. Conversão em porcentagem:
(3 × 2) / (50 × 2) = 6 / 100 = 6%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Atalho do MMC para contagem rápida: Para descobrir quantos múltiplos de K existem até N, basta fazer a divisão inteira N ÷ K! No caso: 50 ÷ 15 = 3,33... Logo, a parte inteira é 3 múltiplos. Probabilidade instantânea: 3/50 = 6%!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

O matemático alemão Carl Friedrich Gauss popularizou a função piso (maior inteiro menor ou igual a x, denotada por ⌊x⌋). Na teoria dos números, a quantidade de múltiplos de m em um intervalo de 1 a N é rigorosamente ⌊N/m⌋.

05Matemática > Probabilidade > Probabilidade Geométrica

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Roleta de prêmios equiprovável: setores angulares e porcentagem

Uma roleta de prêmios é formada por um disco circular perfeito dividido em 8 setores circulares idênticos e equiprováveis de 45° cada. Os setores são coloridos da seguinte forma: 4 setores vermelhos, 3 setores azuis e 1 setor dourado (prêmio especial). Ao girar a roleta com força suficiente, qual é a probabilidade percentual de o ponteiro parar no setor dourado?

Roleta de Prêmios • 8 Setores de 45° cada • Círculo de 360°

1 Setor Dourado / 8 Setores

Pronto para girar

Setor Dourado (Prêmio máximo):1 setor de 45°

Representa 1 fatia entre as 8 fatias congruentes da roleta.

Cálculo da probabilidade geométrica:1 / 8

Por Setores1 / 8 = 12,5%

Por Graus45° / 360° = 12,5%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: B

Passo a passo detalhado:
1. Espaço amostral angular e setorial: O círculo totaliza 360°. Sendo dividido em 8 setores congruentes, cada setor possui amplitude de 360° / 8 = 45°. O número total de setores é n(S) = 8.
2. Casos favoráveis n(Dourado): Há exatamente 1 setor dourado.
3. Probabilidade setorial:
P(Dourado) = n(Dourado) / n(S) = 1 / 8.
4. Conversão para porcentagem decimal:
1 ÷ 8 = 0,125
0,125 × 100% = 12,5%.
(Pela via angular: 45° / 360° = 1 / 8 = 12,5%).

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Memorize as frações fundamentais de potências de 2 que sempre caem no ENEM: 1/2 = 50%; 1/4 = 25%; 1/8 = 12,5%; 1/16 = 6,25%. Sabendo que a metade de 25% é 12,5%, você responde essa questão em menos de 10 segundos!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

A roleta não foi inventada para jogos de azar! Em 1655, o brilhante físico e matemático francês Blaise Pascal tentava construir uma máquina de movimento perpétuo que girasse sem atrito. A máquina falhou no objetivo perpétuo, mas deu origem ao clássico jogo da roleta.

Módulo 2 • Fundamental II5 questões resolvidas

Módulo 2: Espaço Amostral Composto e Árvore de Possibilidades

Lançamento de múltiplos dados e moedas, tabela de dupla entrada 6x6, diagramas de árvore, princípio fundamental da contagem e probabilidade da união de eventos P(A ∪ B).

06Matemática > Probabilidade > Espaço Amostral Composto

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Dois dados simultâneos: probabilidade da soma das faces ser igual a 7

Dois dados comuns não viciados de 6 faces são lançados simultaneamente sobre uma superfície plana. Observam-se os números nas faces voltadas para cima de cada dado. Qual é a probabilidade de a soma dos dois números obtidos ser exatamente igual a 7?

Matriz de Dupla Entrada 6×6 • 36 Pares Ordenados (d₁, d₂)

Selecionar soma:

d₁ \ d₂

(1,1)2

(1,2)3

(1,3)4

(1,4)5

(1,5)6

(1,6)7

(2,1)3

(2,2)4

(2,3)5

(2,4)6

(2,5)7

(2,6)8

(3,1)4

(3,2)5

(3,3)6

(3,4)7

(3,5)8

(3,6)9

(4,1)5

(4,2)6

(4,3)7

(4,4)8

(4,5)9

(4,6)10

(5,1)6

(5,2)7

(5,3)8

(5,4)9

(5,5)10

(5,6)11

(6,1)7

(6,2)8

(6,3)9

(6,4)10

(6,5)11

(6,6)12

Pares com soma 7: 6 de 36 paresDiagonal de maior frequência!

P(Soma = 7) = 6/36 = 16.67% (1/6)

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: C

Passo a passo detalhado:
1. Espaço amostral composto n(S):
Pelo princípio multiplicativo, o primeiro dado tem 6 resultados possíveis e o segundo dado tem 6 resultados possíveis. O número total de pares ordenados (d₁, d₂) é:
n(S) = 6 × 6 = 36 pares ordenados.
2. Identificação dos pares favoráveis cuja soma é 7:
- (1, 6) → 1 + 6 = 7
- (2, 5) → 2 + 5 = 7
- (3, 4) → 3 + 4 = 7
- (4, 3) → 4 + 3 = 7
- (5, 2) → 5 + 2 = 7
- (6, 1) → 6 + 1 = 7
Total de casos favoráveis: n(Soma=7) = 6 pares.
3. Cálculo da probabilidade:
P(Soma=7) = 6 / 36.
4. Simplificação da fração:
(6 ÷ 6) / (36 ÷ 6) = 1 / 6 ≈ 0,1667 = 16,67%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

Nos cassinos de Las Vegas e de todo o mundo, o jogo de dados ('Craps') é centrado no número 7 justamente porque ele tem a maior densidade probabilística de ocorrência (16,67%), sendo apelidado de 'o número mágico dos dados'.

07Matemática > Probabilidade > Árvore de Possibilidades

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Lançamento duplo de moedas: obtenção de exatamente uma cara e uma coroa

Uma moeda justa e equilibrada é lançada para cima duas vezes consecutivas. Qual é a probabilidade de se obter exatamente uma 'Cara' e uma 'Coroa', independentemente da ordem em que apareçam?

Árvore de Possibilidades • 2 Lançamentos de Moeda (2² = 4 ramos)

(C, C)1/4 = 25%

Duas Caras

Condição:Não atende

(C, K)1/4 = 25%

Exatamente 1 Cara e 1 Coroa

Condição:Favorável

(K, C)1/4 = 25%

Exatamente 1 Cara e 1 Coroa

Condição:Favorável

(K, K)1/4 = 25%

Duas Coroas

Condição:Não atende

Casos que cumprem 'uma Cara e uma Coroa': (C, K) e (K, C). Como a ordem importa nos desfechos elementares, somam-se os dois ramos.

P(E) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 = 50%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: C

Passo a passo detalhado:
1. Espaço amostral completo S via árvore de possibilidades:
Para o 1º lançamento temos {C, K} e para o 2º temos {C, K}.
S = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)}
Número total de desfechos possíveis: n(S) = 2 × 2 = 4.
2. Identificação do evento favorável E (exatamente 1 cara e 1 coroa):
- (C, K): 1ª Cara, 2ª Coroa.
- (K, C): 1ª Coroa, 2ª Cara.
Total de casos favoráveis: n(E) = 2.
3. Cálculo da probabilidade:
P(E) = n(E) / n(S) = 2 / 4.
4. Simplificação:
2 / 4 = 1 / 2 = 0,5 = 50%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

O histórico 'Erro de d'Alembert': No século XVIII, Jean d'Alembert (um dos maiores matemáticos da história) escreveu na Enciclopédia que a probabilidade era 1/3 porque tratou {Cara, Coroa} como um único evento indivisível. Lembre-se: Moeda 1 e Moeda 2 são entidades distintas no tempo ou espaço!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

O debate sobre o lançamento de duas moedas entre d'Alembert e outros enciclopedistas acelerou a formalização científica da probabilidade, consolidando que desfechos ordenados como (C,K) e (K,C) devem ser tratados como eventos elementares separados.

08Matemática > Probabilidade > Probabilidade da União P(A ∪ B)

MédioENEM & Vestibulares

Probabilidade da união de eventos: múltiplos de 4 ou de 6 de 1 a 20

Em uma urna há 20 bolas idênticas numeradas de 1 a 20. Uma bola é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de o número sorteado ser um múltiplo de 4 OU um múltiplo de 6?

Diagrama de Venn • Probabilidade da União P(A ∪ B)

Conjunto A{4, 8, 16, 20}

Conjunto B{6, 18}

A ∩ B{12}

Clique nas regiões do diagrama para inspecionar os conjuntos.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A) [Múltiplos de 4]:5 / 20

+ P(B) [Múltiplos de 6]:3 / 20

- P(A ∩ B) [Subtrai o 12 contado 2x]:- 1 / 20

= P(A ∪ B) Total:7 / 20 = 35%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: B

Passo a passo detalhado:
1. Espaço amostral total n(S): Bolas de 1 a 20, portanto n(S) = 20.
2. Evento A (múltiplos de 4 entre 1 e 20):
A = {4, 8, 12, 16, 20} → n(A) = 5.
P(A) = 5/20.
3. Evento B (múltiplos de 6 entre 1 e 20):
B = {6, 12, 18} → n(B) = 3.
P(B) = 3/20.
4. Evento Interseção (A ∩ B) (múltiplos simultâneos de 4 e 6, ou seja, de mmc(4,6) = 12):
A ∩ B = {12} → n(A ∩ B) = 1.
P(A ∩ B) = 1/20.
5. Aplicação do Teorema da Probabilidade da União:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 5/20 + 3/20 - 1/20 = 7/20.
6. Conversão para porcentagem:
(7 × 5) / (20 × 5) = 35 / 100 = 35%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Fórmula do 'OU': Sempre que o enunciado trouxer 'Evento A OU Evento B', pergunte-se imediatamente: 'Existe alguém que pertença aos dois grupos ao mesmo tempo?'. Se sim, você É OBRIGADO a subtrair essa interseção P(A ∩ B), senão estará inflando a probabilidade por contagem dupla!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

A fórmula P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) é o caso mais simples do Teorema da Inclusão-Exclusão, formulado pelo matemático Abraham de Moivre em 1718 e utilizado em computação para indexação de bancos de dados relacionais.

09Matemática > Probabilidade > Análise Combinatória Básica

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Formação de duplas em comissões: probabilidade de 1 rapaz e 1 moça

Um grupo de estudos preparatório para o ENEM é formado por 4 rapazes e 6 moças (totalizando 10 estudantes). Serão sorteados aleatoriamente 2 estudantes desse grupo para compor a comissão representativa da turma. Qual é a probabilidade de a dupla sorteada ser formada por exatamente 1 rapaz e 1 moça?

Comissões e Duplas • 4 Rapazes e 6 Moças (10 estudantes)

Método:

Composição da turma (10 alunos):

Rapaz 1Rapaz 2Rapaz 3Rapaz 4Moça 1Moça 2Moça 3Moça 4Moça 5Moça 6

Caminho 1: 1º Rapaz e 2ª Moça

(4/10) × (6/9) = 24 / 90

Caminho 2: 1ª Moça e 2º Rapaz

(6/10) × (4/9) = 24 / 90

Soma dos dois caminhos mutuamente exclusivos:24/90 + 24/90 = 48/90 = 8/15 ≈ 53,33%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: C

Passo a passo detalhado:
Método 1 (via Análise Combinatória):
1. Espaço amostral n(S): Total de duplas não ordenadas possíveis escolhendo 2 pessoas entre 10:
n(S) = C(10, 2) = (10 × 9) / (2 × 1) = 90 / 2 = 45 duplas possíveis.
2. Casos favoráveis n(E): Escolher 1 rapaz entre os 4 disponíveis E 1 moça entre as 6 disponíveis:
n(E) = C(4, 1) × C(6, 1) = 4 × 6 = 24 duplas.
3. Cálculo da razão:
P(E) = 24 / 45.
4. Simplificação por 3:
(24 ÷ 3) / (45 ÷ 3) = 8 / 15 ≈ 0,5333 = 53,33%.

Método 2 (via Árvore de Probabilidades):
- Caso 1: 1º Rapaz e 2ª Moça → (4/10) × (6/9) = 24/90
- Caso 2: 1ª Moça e 2º Rapaz → (6/10) × (4/9) = 24/90
- Soma dos casos mutuamente exclusivos: 24/90 + 24/90 = 48/90 = 8/15 ≈ 53,33%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Atalho de árvore multiplicada por 2: Se fizer por árvore, calcule a primeira ordem: Rapaz depois Moça = (4/10) × (6/9) = 24/90. Como a ordem inversa (Moça depois Rapaz) tem a mesmíssima probabilidade, basta multiplicar por 2! 2 × (24/90) = 48/90 = 8/15. Em segundos você resolve sem montar fórmulas combinatórias!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

O número de maneiras de escolher comissões de tamanho k em um grupo de n pessoas corresponde exatamente às entradas das linhas do Triângulo de Pascal, cujas propriedades combinatórias foram amplamente exploradas por Blaise Pascal em 1654.

10Matemática > Probabilidade > Sorteio com Restrições Numéricas

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Sorteio com restrições: número par e estritamente maior que 25 de 1 a 40

Em uma gincana escolar, 40 cartões numerados de 1 a 40 foram colocados em uma caixa. Um estudante puxa um cartão aleatoriamente. Sabendo que todos os cartões têm a mesma chance de serem retirados, qual é a probabilidade de o número sorteado ser par e estritamente maior que 25?

Filtro de Restrições Numéricas (1 a 40)

Apenas ParesEstritamente > 25

Números selecionados: 8 de 40 (26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40)

P(E) = 8/40 = 20.0%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: B

Passo a passo detalhado:
1. Espaço amostral total n(S): Cartões de 1 a 40, portanto n(S) = 40.
2. Restrições conjuntas do evento E:
- Condição 1: Estritamente maior que 25 → O número deve pertencer ao intervalo {26, 27, 28, ..., 40}.
Total de números maiores que 25: 40 - 25 = 15 números.
- Condição 2: Ser número par dentro desse subconjunto.
3. Listagem dos números pares de 26 a 40:
E = {26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40}
Contagem dos casos favoráveis: n(E) = 8 números.
4. Cálculo da probabilidade:
P(E) = n(E) / n(S) = 8 / 40.
5. Simplificação por 8 e conversão para porcentagem:
(8 ÷ 8) / (40 ÷ 8) = 1 / 5 = 0,20 = 20%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Cuidado com a palavra 'ESTRITAMENTE MAIOR'! 'Maior que 25' começa no 26! Se o enunciado dissesse 'maior ou igual a 25', o 25 entraria (mas como 25 é ímpar, não mudaria a contagem dos pares). No intervalo de 26 a 40, o primeiro é par (26) e o último é par (40). Quantidade de pares = (40 - 26)/2 + 1 = 14/2 + 1 = 7 + 1 = 8 pares!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

A contagem rápida de números pares em um intervalo é uma aplicação direta da fórmula do termo geral da Progressão Aritmética de razão 2: an = a1 + (n-1)r. Com an = 40 e a1 = 26: 40 = 26 + (n-1)·2 ⇒ 14 = 2n - 2 ⇒ 2n = 16 ⇒ n = 8 termos.

Módulo 3 • Médio & 9º Ano5 questões resolvidas

Módulo 3: Eventos Independentes, Dependentes e Sem Reposição

Regra da multiplicação P(A ∩ B), retiradas com e sem reposição, probabilidade condicional P(A|B), o paradoxo do falso positivo em testes médicos e o poder do evento complementar.

11Matemática > Probabilidade > Eventos Dependentes Sem Reposição

MédioENEM & Vestibulares

Retirada sucessiva sem reposição: duas meias pretas no escuro

Em uma gaveta há exatamente 6 meias pretas e 4 meias brancas, todas de mesmo tamanho e formato. Uma pessoa com pressa retira, no escuro, sucessivamente e sem reposição, 2 meias dessa gaveta. Qual é a probabilidade de que ambas as meias retiradas sejam pretas?

Retirada sem reposição • Alteração do espaço amostral

1ª Retirada (Gaveta Cheia)P(P₁) = 6/10

Total de meias: 10 (6 pretas e 4 brancas).

2ª Retirada (Sem Reposição)P(P₂|P₁) = 5/9

Uma meia preta saiu! Restam 9 meias (5 pretas e 4 brancas).

Regra do Produto Condicional: P(P₁ ∩ P₂) = P(P₁) × P(P₂|P₁)

(6/10) × (5/9) = 30 / 90 = 1 / 3 ≈ 33,33%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: C

Passo a passo detalhado:
1. 1ª Retirada:
- Total de meias na gaveta: 6 pretas + 4 brancas = 10 meias.
- Meias pretas disponíveis: 6.
- Probabilidade da 1ª ser preta: P(P₁) = 6 / 10.
2. 2ª Retirada (evento dependente sem reposição):
- Como a 1ª meia preta foi retirada e NÃO retornou para a gaveta, restam 5 meias pretas e o total caiu para 9 meias.
- Probabilidade condicional da 2ª ser preta dado que a 1ª foi preta: P(P₂ | P₁) = 5 / 9.
3. Aplicação da Regra da Multiplicação para eventos sucessivos:
P(P₁ ∩ P₂) = P(P₁) × P(P₂ | P₁)
P(P₁ ∩ P₂) = (6 / 10) × (5 / 9) = 30 / 90.
4. Simplificação por 30:
(30 ÷ 30) / (90 ÷ 30) = 1 / 3 ≈ 0,3333 = 33,33%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

A regra do 'subtrai 1 no numerador e no denominador': Quando a questão disser 'SEM REPOSIÇÃO', a segunda fração perde 1 caso favorável e 1 caso possível: de 6/10 passa para 5/9! Fique muito atento para simplificar antes de multiplicar: 6/10 vira 3/5; aí fica (3/5) × (5/9) -> corta o 5 com o 5 e sobra 3/9 = 1/3!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

Lewis Carroll, autor de 'Alice no País das Maravilhas' e professor de matemática na Universidade de Oxford, publicou em 1893 uma série de enigmas sobre probabilidades de retirar pares de meias no escuro em sua obra 'Curiosa Mathematica'.

12Matemática > Probabilidade > Eventos Independentes Com Reposição

FácilENEM & Vestibulares

Retirada com reposição: duas bolas verdes consecutivas

Uma caixa contém 3 bolas verdes e 7 bolas azuis. Uma bola é sorteada ao acaso, sua cor é registrada e ela é imediatamente devolvida à caixa (sorteio com reposição). Em seguida, uma segunda bola é sorteada. Qual é a probabilidade percentual de que as duas bolas sorteadas sejam verdes?

Comparador: Com Reposição vs. Sem Reposição

Com Reposição (Independente)9,00%

A 1ª bola é devolvida. O espaço amostral permanece em 10 bolas e as 3 verdes continuam disponíveis para a 2ª retirada.

P = (3/10) × (3/10) = 9/100 = 9%

Sem Reposição (Dependente)6,67%

A 1ª verde fica retida fora da caixa. Restam apenas 2 verdes em um total reduzido de 9 bolas.

P = (3/10) × (2/9) = 6/90 = 1/15 ≈ 6,67%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: C

Passo a passo detalhado:
1. Conceito de Eventos Independentes: Como a primeira bola é devolvida à caixa antes da segunda retirada, a composição da caixa e o espaço amostral permanecem rigorosamente idênticos para ambas as extrações.
2. Total de bolas na caixa: 3 verdes + 7 azuis = 10 bolas.
3. 1ª retirada: P(V₁) = 3 / 10 = 0,3.
4. 2ª retirada: P(V₂) = 3 / 10 = 0,3.
5. Aplicação da regra do produto para eventos independentes:
P(V₁ ∩ V₂) = P(V₁) × P(V₂) = (3 / 10) × (3 / 10) = 9 / 100.
6. Conversão em porcentagem:
9 / 100 = 9%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Com reposição = potência pura! Como o espaço amostral se mantém inalterado em sorteios com reposição, basta elevar a probabilidade individual à quantidade de retiradas: P(2 verdes) = (3/10)² = 9/100 = 9%. Se fossem 3 retiradas com reposição: (3/10)³ = 27/1000 = 2,7%!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

Dois eventos são estocasticamente independentes se, e somente se, a ocorrência de um não altera a probabilidade da ocorrência do outro, isto é, P(A|B) = P(A). O conceito foi formalizado pelo matemático russo Andrei Kolmogorov em 1933.

13Matemática > Probabilidade > Probabilidade Condicional e Falsos Positivos

DifícilENEM & Vestibulares

Testes médicos e probabilidade condicional: o paradoxo do falso positivo

Uma doença rara afeta exatamente 1 em cada 1.000 indivíduos de uma população (prevalência de 0,1%). Um teste diagnóstico para essa doença possui sensibilidade de 99% (detecta a doença quando o indivíduo está infectado) e taxa de falso positivo de 2% (resulta positivo em indivíduos perfeitamente sadios). Se uma pessoa escolhida ao acaso na população realiza o teste e obtém resultado POSITIVO, qual é a probabilidade real aproximada de ela estar doente?

Matriz de Contingência (População de 100.000 pessoas)

Condição Real \ Resultado	Teste POSITIVO (+)	Teste NEGATIVO (-)	Total Populacional
Realmente Doente (0,1%)	99 (Verdadeiro +)	1 (Falso -)	100
Realmente Sadio (99,9%)	1.998 (Falso +)	97.902 (Verdadeiro -)	99.900
Total de Testes	2.097 testes positivos	97.903	100.000 pessoas

Cálculo de Bayes: P(Doente | Positivo) = Verdadeiros + / Total de Positivos

99 / 2.097 ≈ 0,0472 = 4,72%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: A

Passo a passo detalhado (via população hipotética de 100.000 pessoas):
1. Estruturação da população de 100.000 indivíduos:
- Pessoas realmente doentes (0,1% de 100.000): 100 pessoas.
- Pessoas sadias (99,9% de 100.000): 99.900 pessoas.
2. Aplicação das taxas do teste diagnóstico:
- Entre os 100 doentes: Sensibilidade de 99% → 99 pessoas testam POSITIVO (Verdadeiros Positivos) e 1 testa falso negativo.
- Entre as 99.900 sadias: Falso positivo de 2% → 2% de 99.900 = 0,02 × 99.900 = 1.998 pessoas testam POSITIVO (Falsos Positivos)!
3. Total de testes com resultado Positivo gerados na população:
Total de Positivos = Verdadeiros Positivos + Falsos Positivos
Total de Positivos = 99 + 1.998 = 2.097 testes positivos.
4. Cálculo da probabilidade condicional P(Doente | Positivo):
P(Doente | Positivo) = Casos de doentes com positivo / Total de positivos
P(Doente | Positivo) = 99 / 2.097 ≈ 0,0472 = 4,72%!

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

O método dos 100.000 habitantes no ENEM: Em probabilidade condicional com porcentagens decimais difíceis, NUNCA decore a fórmula colossal de Bayes! Crie mentalmente uma cidade de 100.000 habitantes e preencha a tabelinha de contingência: doentes vs. sadios e positivos vs. negativos. A resposta sai por uma simples divisão final!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

Psicólogos cognitivos como Daniel Kahneman e Amos Tversky demonstraram em pesquisas clássicas que até médicos experientes erram essa questão, estimando a probabilidade em mais de 90%, por ignorarem que a raridade extrema da doença (a taxa-base) faz com que os falsos positivos superem os doentes reais.

14Matemática > Probabilidade > Evento Complementar

MédioENEM & Vestibulares

Lançamento de 4 moedas: probabilidade de pelo menos uma cara

Uma moeda honesta é lançada quatro vezes consecutivas para o alto. Qual é a probabilidade de se obter 'pelo menos uma Cara' no conjunto desses quatro lançamentos?

Calculadora de Evento Complementar • P(A) = 1 - P(Aᶜ)

Nº de Moedas:

Evento Complementar Aᶜ (Nenhuma Cara):1 caso

A única combinação indesejada é todas as 4 moedas resultarem em Coroa (K-K-K-K).

P(Nenhuma Cara) = (1/2)^4 = 1 / 16

P(Pelo menos uma Cara):15 / 16

Subtrai-se o caso indesejado do total de 100%:

1 - (1 / 16) = 15 / 16 = 93.75%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: C

Passo a passo detalhado:
1. Espaço amostral total n(S):
Cada lançamento de moeda possui 2 resultados possíveis. Para 4 lançamentos independentes:
n(S) = 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴ = 16 sequências possíveis.
2. Estratégia do Evento Complementar:
O evento 'obter pelo menos uma Cara' engloba obter 1 cara, 2 caras, 3 caras ou 4 caras.
O ÚNICO caso que NÃO satisfaz essa condição (o evento complementar Aᶜ) é obter NENHUMA CARA (isto é, todas as 4 moedas resultarem em Coroa: K-K-K-K).
3. Probabilidade do evento complementar:
Aᶜ = {(K, K, K, K)} → n(Aᶜ) = 1 caso.
P(Aᶜ) = 1 / 16.
4. Aplicação do Teorema do Evento Complementar:
P(A) = 1 - P(Aᶜ)
P(Pelo menos uma Cara) = 1 - (1 / 16) = (16 - 1) / 16 = 15 / 16.
5. Conversão em porcentagem:
15 ÷ 16 = 0,9375 = 93,75%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Leu 'PELO MENOS UM'? Inverta imediatamente! Se você tentar calcular 'pelo menos uma cara' somando os casos de 1 cara + 2 caras + 3 caras + 4 caras, perderá minutos valiosos calculando combinações. Em vez disso, calcule SEMPRE o caso 'NENHUM' e subtraia de 100%: 1 - (1/2)⁴ = 1 - 1/16 = 15/16 (93,75%)!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

Em 1654, o nobre francês Chevalier de Méré procurou Blaise Pascal com um enigma de dados que envolvia a probabilidade de 'pelo menos um 6 em quatro lançamentos'. A troca de cartas entre Pascal e Pierre de Fermat sobre esse problema fundou a Teoria Matemática das Probabilidades moderna!

15Matemática > Probabilidade > Teorema de Bayes na Indústria

MédioENEM & Vestibulares

Linha de produção: defeitos de fabricação e probabilidade condicional

Em uma fábrica de componentes eletrônicos, a máquina M₁ produz 60% de todas as peças e apresenta uma taxa histórica de defeito de 2%. A máquina M₂ produz os 40% restantes da produção e apresenta uma taxa de defeito de 5%. Uma peça é escolhida ao acaso no armazém central e um teste de qualidade constata que ela está com DEFEITO. Qual é a probabilidade de que essa peça defeituosa tenha sido produzida pela máquina M₂?

Controle de Qualidade • Amostragem de 1.000 Lâmpadas

Máquina M₁ (60% da produção)Taxa de Defeito: 2%

Produz 600 lâmpadas em 1.000.

Defeituosas: 600 × 0,02 = 12 lâmpadas

Máquina M₂ (40% da produção)Taxa de Defeito: 5%

Produz 400 lâmpadas em 1.000.

Defeituosas: 400 × 0,05 = 20 lâmpadas

Total de Defeituosas: 12 + 20 = 32 lâmpadas

P(M₂ | Defeito) = 20 / 32 = 5 / 8 = 62,5%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: C

Passo a passo detalhado (via Teorema de Bayes e amostragem de 1.000 peças):
1. Em um lote hipotético de 1.000 peças:
- Produzidas por M₁ (60%): 600 peças.
Peças com defeito de M₁: 2% de 600 = 0,02 × 600 = 12 peças defeituosas.
- Produzidas por M₂ (40%): 400 peças.
Peças com defeito de M₂: 5% de 400 = 0,05 × 400 = 20 peças defeituosas.
2. Total de peças defeituosas no armazém:
Total de Defeituosas = 12 (de M₁) + 20 (de M₂) = 32 peças defeituosas.
3. Cálculo da probabilidade condicional P(M₂ | Defeituosa):
P(M₂ | Defeituosa) = Peças defeituosas de M₂ / Total de peças defeituosas
P(M₂ | Defeituosa) = 20 / 32.
4. Simplificação por 4 e conversão para porcentagem:
(20 ÷ 4) / (32 ÷ 4) = 5 / 8.
5 ÷ 8 = 0,625 = 62,5%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Teorema de Bayes em 2 linhas: Peças defeituosas = P(M₁)×Taxa₁ + P(M₂)×Taxa₂ = (0,60 × 0,02) + (0,40 × 0,05) = 0,012 + 0,020 = 0,032. Agora basta dividir a parcela da máquina pedida pelo total: 0,020 / 0,032 = 20/32 = 5/8 = 62,5%!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

Thomas Bayes foi um ministro presbiteriano e matemático inglês do século XVIII. O Teorema de Bayes, publicado postumamente em 1763 por Richard Price, é o alicerce dos modernos filtros anti-spam de e-mail e dos algoritmos de aprendizado de máquina (Machine Learning) atuais.

Módulo 4 • Ensino Médio & ENEM5 questões resolvidas

Módulo 4: Probabilidade Binomial e Desafios ENEM

Modelo binomial de Bernoulli, genética mendeliana (quadro de Punnett), teoria dos grafos e tábua de Galton, valor esperado atuarial e o clássico paradoxo de Monty Hall.

16Matemática > Probabilidade > Distribuição Binomial de Bernoulli

MédioENEM & Vestibulares

Lançamento de 5 moedas: probabilidade de exatamente 3 caras

Uma moeda honesta é lançada 5 vezes para cima. Sabendo que a cada lançamento a probabilidade de sair Cara é 1/2 e a de sair Coroa é 1/2, qual é a probabilidade exata de se obter exatamente 3 Caras e 2 Coroas nesses 5 lançamentos?

Distribuição Binomial • n = 5 lançamentos • p = 0,5

Total de sequências: 2⁵ = 32

3.1%

k=0

15.6%

k=1

31.3%

k=2

31.3%

k=3

15.6%

k=4

3.1%

k=5

Termo Binomial para k = 3: C(5, 3) = 10 permutações

P(X = 3) = 10/32 = 31.25% (5/16)

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: C

Passo a passo detalhado:
1. Aplicação do Modelo Binomial de Bernoulli:
A probabilidade de obter k sucessos em n ensaios independentes é dada por:
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 - p)^(n - k)
Onde:
- n = 5 lançamentos
- k = 3 caras (sucessos)
- p = 1/2 (probabilidade de cara)
- 1 - p = 1/2 (probabilidade de coroa).
2. Cálculo do coeficiente binomial C(5, 3):
C(5, 3) = 5! / (3! × 2!) = (5 × 4) / (2 × 1) = 20 / 2 = 10 maneiras distintas de posicionar as 3 caras nos 5 lançamentos.
3. Cálculo da probabilidade de uma sequência específica (por exemplo, CCCKK):
(1/2)³ × (1/2)² = (1/8) × (1/4) = 1/32.
4. Multiplicação pelo número de sequências possíveis:
P(X = 3) = 10 × (1/32) = 10 / 32.
5. Simplificação por 2 e porcentagem:
(10 ÷ 2) / (32 ÷ 2) = 5 / 16.
5 ÷ 16 = 0,3125 = 31,25%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Nunca esqueça do Coeficiente Binomial! Uma sequência de 3 Caras e 2 Coroas pode ocorrer de várias formas: CCCKK, CCKCK, CKCKC, etc. A probabilidade de UMA sequência é sempre (1/2)⁵ = 1/32. A quantidade de permutações é C(5, 3) = 10. Multiplicou: 10/32 = 5/16 (31,25%)!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

Jacob Bernoulli dedicou mais de 20 anos ao estudo dos ensaios com dois desfechos (sucesso e fracasso). O termo 'processo de Bernoulli' homenageia sua demonstração rigorosa da Lei dos Grandes Números publicada em 1713.

17Matemática > Probabilidade > Genética Mendeliana e Condicional

DifícilENEM & Vestibulares

Genética mendeliana e quadro de Punnett: probabilidade de portador não afetado

O albinismo é uma condição genética recessiva (alelo 'a'). Indivíduos com genótipo homozigoto recessivo (aa) são albinos, enquanto indivíduos com pelo menos um alelo dominante 'A' (homozigotos AA ou heterozigotos Aa) possuem pigmentação normal. Um casal, ambos heterozigotos (Aa), teve um filho com pigmentação NORMAL (não albino). Qual é a probabilidade de essa criança ser portadora do alelo para o albinismo (genótipo Aa)?

Quadro de Punnett • Cruzamento Aa × Aa (Albinismo)

♀ \ ♂

AANormal

AaPortador

aAPortador

aaDescartado

Informação a posteriori:

O enunciado afirma que a criança já nasceu e não é albina. Isso elimina a probabilidade de o genótipo ser 'aa'.

Espaço amostral reduzido:n(S) = 3 {AA, Aa, aA}

P(Portador Aa | Normal):2 / 3 ≈ 66,67%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: C

Passo a passo detalhado:
1. Cruzamento dos genótipos parentais Aa × Aa via Quadro de Punnett:
- 1/4 (25%) AA (pigmentação normal, não portador)
- 2/4 (50%) Aa (pigmentação normal, portador do alelo recessivo)
- 1/4 (25%) aa (albino, afetado).
2. Aplicação da condição restritiva do enunciado:
O enunciado afirma expressamente que a criança JÁ NASCEU com pigmentação NORMAL. Portanto, o genótipo albino (aa) está fisicamente eliminado do espaço amostral!
3. Novo espaço amostral reduzido:
S_reduzido = {AA, Aa, aA} → n(S_reduzido) = 3 casos possíveis equiprováveis.
4. Casos favoráveis de ser portador (Aa ou aA):
n(Portador) = 2 casos.
5. Probabilidade condicional:
P(Portador | Normal) = 2 / 3 ≈ 0,6667 = 66,67%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

O clássico 'Já nasceu e é saudável': No ENEM e vestibulares de medicina (FUVEST, UNICAMP), sempre que a questão disser que um filho de casal heterozigoto já nasceu com o fenótipo dominante e perguntar se ele é heterozigoto (portador), o espaço amostral cai de 4 para 3! A resposta é SEMPRE 2/3 (66,7%)!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

Em 1865, o monge agostiniano Gregor Mendel apresentou os resultados de seus cruzamentos com ervilhas em Brno. Ele foi o primeiro cientista da história a usar formalmente o cálculo de probabilidades e proporções combinatórias para explicar a transmissão de características biológicas.

18Matemática > Probabilidade > Teoria dos Grafos e Tábua de Galton

MédioENEM & Vestibulares

Escolha de rotas e bifurcações: probabilidade de caminhos em labirinto triangular

Um robô autônomo parte do topo de uma rede triangular com 3 níveis sucessivos de bifurcações (análoga à tábua de Galton). Em cada uma das 3 encruzilhadas encontradas, o robô tem probabilidade idêntica de 50% de virar para a esquerda (E) e 50% de virar para a direita (D). Os canais de chegada na base são numerados de 0 a 3, correspondendo ao número de viradas à direita realizadas. Qual é a probabilidade percentual de o robô terminar no canal 2 (exatamente duas viradas à direita)?

Tábua de Galton & Grafos • 3 Bifurcações (2³ = 8 rotas)

Linha do Triângulo de Pascal: 1 - 3 - 3 - 1

Canal 0 (0 Direitas)1/8 (12,5%)

EEE

Caminhos:1 de 8

Canal 1 (1 Direita)3/8 (37,5%)

EED, EDE, DEE

Caminhos:3 de 8

Canal 2 (2 Direitas)3/8 (37,5%)

DDE, DED, EDD

Caminhos:3 de 8

Canal 3 (3 Direitas)1/8 (12,5%)

DDD

Caminhos:1 de 8

Canal 2 (Duas viradas para a direita): Permutações de D-D-E = C(3, 2) = 3 rotas favoráveis

P(Canal 2) = 3 / 8 = 0,375 = 37,5%

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: C

Passo a passo detalhado:
1. Espaço amostral total de rotas n(S):
Como há 3 bifurcações e cada uma tem 2 opções (E ou D):
n(S) = 2 × 2 × 2 = 2³ = 8 caminhos possíveis e equiprováveis.
2. Identificação das rotas que realizam exatamente duas viradas à direita (canal 2):
As sequências contendo 2 D e 1 E são as permutações da palavra D-D-E:
- (D, D, E)
- (D, E, D)
- (E, D, D)
Quantidade de caminhos favoráveis: C(3, 2) = 3 caminhos.
3. Cálculo da probabilidade:
P(Canal 2) = 3 / 8.
4. Conversão para porcentagem:
3 ÷ 8 = 0,375 = 37,5%.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Caminhos de Galton = Linha do Triângulo de Pascal! Para 3 bifurcações, a distribuição de caminhos segue exatamente a linha 3 do Triângulo de Pascal: 1 canal na ponta, 3 no meio, 3 no outro meio e 1 na outra ponta (1, 3, 3, 1, soma = 8 rotas). Probabilidade do canal 2: 3 de 8 = 37,5%!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

Sir Francis Galton inventou o 'Quincunx' (tábua de pinos) em 1873. Ao soltar centenas de bolinhas através de pinos com bifurcações 50/50, o acúmulo no fundo invariavelmente desenha a famosa curva em sino da Distribuição Normal de Gauss!

19Matemática > Probabilidade > Valor Esperado e Análise de Riscos ENEM

DifícilENEM & Vestibulares

Análise de riscos e seguros: cálculo do valor esperado atuarial

Uma companhia de seguros comercializa apólices para proteção de veículos contra roubo e acidentes em uma cidade. Dados estatísticos consolidados indicam o seguinte perfil anual de sinistro por veículo segurado:
• Perda Total: probabilidade de 0,4% (indenização de R$ 50.000,00)
• Dano Parcial: probabilidade de 6,0% (custo médio de reparo de R$ 5.000,00)
• Sem Sinistro: probabilidade de 93,6% (indenização de R$ 0,00).
Qual é o valor esperado da indenização (custo de risco atuarial puro) que a seguradora deve provisionar, em média, por veículo?

Tabela Atuarial ENEM • Cálculo de Valor Esperado E(X)

E(X) = Σ [xᵢ · P(xᵢ)]

Tipo de Sinistro	Probabilidade P(xᵢ)	Custo / Indenização xᵢ	Parcela E(X) = xᵢ · P(xᵢ)
Perda Total	0,4% (0,004)	R$ 50.000,00	R$ 200,00
Dano Parcial	6,0% (0,060)	R$ 5.000,00	R$ 300,00
Sem Sinistro	93,6% (0,936)	R$ 0,00	R$ 0,00
Custo de Risco Puro por Veículo Segurado:			R$ 500,00

Aplicações no ENEM: O cálculo de Esperança Matemática multiplica cada indenização pela sua probabilidade decimal: (0,004 × 50.000 = R$ 200) + (0,06 × 5.000 = R$ 300) = R$ 500,00.

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: B

Passo a passo detalhado:
1. Conceito de Valor Esperado (Esperança Matemática):
O valor esperado E(X) de uma variável aleatória discreta é o somatório dos produtos de cada valor possível x_i pela sua respectiva probabilidade P(x_i):
E(X) = Σ [x_i × P(x_i)]
2. Cálculo de cada parcela:
- Parcela 1 (Perda Total):
0,4% de R

50.000,00 = 0,004 × 50.000 = R

200,00.
- Parcela 2 (Dano Parcial):
6,0% de R

5.000,00 = 0,06 × 5.000 = R

300,00.
- Parcela 3 (Sem Sinistro):
93,6% de R

0,00 = 0,936 × 0 = R

0,00.
3. Soma dos valores esperados ponderados:
E(X) = R

200,00 + R

300,00 + R

0,00 = R

500,00 por veículo.

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

Cuidado ao transformar 0,4% em decimal! 4% é 0,04; portanto, 0,4% é 0,004 (três casas decimais após a vírgula). Para multiplicar rápido: 0,4% de 50.000 = (0,4 × 50.000)/100 = 0,4 × 500 = R

200,00. Somou com os R

300,00 do dano parcial: R$ 500,00 exatos!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

As seguradoras calculam exatamente o Valor Esperado do risco (o 'prêmio puro', neste caso R$ 500,00) e depois adicionam despesas administrativas, impostos e a margem de lucro para fixar o preço final cobrado do consumidor.

20Matemática > Probabilidade > Paradoxo de Monty Hall e Teoria da Decisão

DifícilENEM & Vestibulares

O problema dos três portões (Monty Hall): probabilidade condicional na troca de portas

Em um famoso programa de televisão, há 3 portas fechadas (Porta 1, Porta 2 e Porta 3). Atrás de uma delas há um automóvel zero km (prêmio) e atrás das outras duas há cabras. O participante escolhe a Porta 1. Em seguida, o apresentador (que sabe exatamente onde está o prêmio) abre a Porta 3, revelando uma cabra, e pergunta: 'Você deseja manter a Porta 1 ou prefere trocar para a Porta 2?'. Se a meta do participante é maximizar a chance de ganhar o automóvel, qual é a probabilidade exata de vitória se ele optar por TROCAR de porta?

Simulador de Monty Hall • O Paradoxo dos Três Portões

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Porta 1Sua Escolha Inicial

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Porta 2Porta Fechada

🐐

Porta 3Cabra Revelada!

O apresentador abriu a Porta 3 (Cabra). O que você prefere fazer?

Selecione a alternativa correta:

Gabarito e resolução comentada

Alternativa correta: C

Passo a passo detalhado:
1. Probabilidades na escolha inicial:
- P(Carro na Porta 1) = 1/3 (33,33%).
- P(Carro estar nas portas 2 ou 3) = 2/3 (66,67%).
2. A intervenção informada do apresentador:
O apresentador NÃO escolhe uma porta ao acaso: ele tem a obrigação de abrir uma porta que contenha uma CABRA dentre as que o participante não escolheu.
3. Concentração de probabilidade condicional:
Ao abrir a Porta 3 e revelar a cabra, o apresentador não altera a probabilidade da Porta 1 (que continua congelada em 1/3, pois foi escolhida no início). Toda a probabilidade de 2/3 que pertencia ao conjunto {Porta 2, Porta 3} se transfere integralmente para a única porta fechada restante: a Porta 2!
4. Comparação entre as duas estratégias:
- Se o participante MANTER a escolha original: ganha em 1 de cada 3 vezes → P(Vitória) = 1/3 ≈ 33,33%.
- Se o participante TROCAR para a outra porta: ganha em 2 de cada 3 vezes → P(Vitória) = 2/3 ≈ 66,67%!
Trocar de porta DOBRA a probabilidade de ganhar o automóvel!

Dica de ouro ("Pulo do gato" para provas):

O segredo de Monty Hall: Você só perde ao trocar se tiver acertado o carro de primeira (o que ocorre em apenas 1 de cada 3 vezes). Em 2 de cada 3 vezes, você escolheu inicialmente uma cabra; como o apresentador é obrigado a eliminar a outra cabra, a porta restante conterá OBRIGATORIAMENTE o carro! Trocar transforma seus erros em acertos!

Gabarito oculto para você praticar primeiro!

Escolha uma alternativa acimaou

Em 1990, Marilyn vos Savant (reconhecida pelo Guinness como tendo um dos maiores QIs do mundo) publicou essa solução em sua coluna de jornal. Ela recebeu cerca de 10.000 cartas, incluindo de quase 1.000 PhDs em matemática, acusando-a de estar errada. Mais tarde, simulações computadorizadas demonstraram sem sombra de dúvida que trocar de porta garante a vitória em exatamente 2/3 das vezes!

Fim da atividade • 7º e 9º ano ao ENEM

Parabéns pelo estudo sobre a Probabilidade!

Você dominou os 4 módulos: Espaço Amostral e Laplace, Árvore de Possibilidades e União, Eventos Dependentes e Sem Reposição, e Distribuição Binomial, Genética e Monty Hall.

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